试用分部积分法证明：若f(x)连续，则 ∫0x[∫0tf(x)dx]dt=∫x0f(t)(x-1)dt

求下列反常积分的值： (1)∫0+∞xe-x2dx； (2)∫-∞+∞[1/(x2+2x+2)]dx； (3)∫1+∞dx/x(1+x2)； (4)∫+∞2/π(1/x2)sin(1/x)dx．

极限limx→0=[∫0x(sint2/t)dt]/x2=_____.

求∫[(1+arxcosx)/√(1-x2)]dx

设φ(x)=∫x20te-tdt，则φ´(x)=____．

试用积分定义计算定积分∫12x2dx

求下列微分方程的通解： (1)(1-y)dx+(1+x)dy=0； (2)x(dy/dx)-ylny=0： (3)√(1-x2)y′=√(1-y2)； (4)dy/dx=e2x+y； (5)2xydx+√(1+x2)dy=0； (6)(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0．

求下列不定积分： (1)∫sin22xdx； (2)∫sin2xcos3xdx； (3)∫(sinx/√cos2x)dx； (4)∫cotxdx； (5)∫[cos2(lnx)/x]dx (6)∫sin4xdx (7)∫sin2xcosxdx (8)∫sin3xsin5xdx； (9)∫tan3xdx； (10)∫(cos3x/sin)dx； (11)∫sin23xcosxdx； (12)∫[(1-sinx)/(x+cosx)]dx；

求微分方程dy/dx+y/x=sinx/x满足初始条件y(π)=1的特解．

若∫f(x)dx=arccosx+c，则f(x)=_____．