简述有限元法的应用领域及典型问题。

简述有限元法的发展历程(关键节点)。

对比传统设计与优化设计在压力容器螺栓设计中的差异。

某压力容器螺栓优化设计中,设计变量$X=(d,n)^T$,目标函数$min F(X)=n(0.0202d-0.148)$,约束条件$g_1=63.92324nd^{2.13113}-158619.335\geq0$,$g_2=\frac{628.3185}{n}-5d\geq0$,$g_3=10d-\frac{628.3185}{n}\geq0$,$d>0$,$n>0$。简述求解该优化问题的步骤。

判定点$X^*=(2,0)^T$是否是函数$min F(X)=(x_1-3)^2+x_2^2$在约束$g_1=x_1^2+x_2-4\leq0$,$g_2=x_1\leq0$,$g_3=-x_2\leq0$下的极值点(K-T条件)。

用拉格朗日乘子法求函数$F(x_1,x_2)=4x_1^2+5x_2^2$在约束$h(x_1,x_2)=2x_1+3x_2-6=0$下的极值。

用牛顿法求函数$F(X)=x_1^2+25x_2^2$的极小点(初始点$X^{(0)}=(2,2)^T$)。

用梯度法求函数$F(X)=x_1^2+4x_2^2$的极小点(初始点$X^{(0)}=(2,2)^T$,精度$\varepsilon=0.01$)。

用二次插值法求函数$F(x)=\sin x$在区间$[4,5]$内的极小点(精度$\varepsilon=10^{-3}$)。

用0.618法求函数$F(x)=x^2-10x+36$在区间$[-10,10]$内的极小点(精度$\varepsilon=10^{-3}$)。