某制造业企业一直实行固定福利制度，包括五险一金、年度体检和节日福利。但员工对福利满意度低：年轻员工希望将体检换成健身卡，已婚员工想要子女教育补贴，外地员工更看重住房补贴，而退休返聘人员觉得福利与自己无关。企业每年福利支出占薪酬总额的20%，却未能达到激励效果。人力资源部提出推行弹性福利计划，让员工自主选择福利项目，但管理层担心管理成本增加和员工选择混乱。
问题：该企业福利制度存在什么问题？推行弹性福利计划是否可行？