2011年5月5日，白云公司与顺昌公司签订了一份房屋租赁合同，约定：白云公司将位于兴华路的一栋大楼出租给顺昌公司，每月租金180万元，每月1日收租，租期2年，从2011年6月1日到2013年5月31日止。合同签订后，双方到房地产管理部门办理了登记备案手续。顺昌公司交付了500万元押金和首月租金后，白云公司将楼房交付顺昌公司使用。此后，顺昌公司按期交租。2011年10月，白云公司因欠蓝天公司4 000万元债务，便将该栋大楼抵押给蓝天公司，双方订立了抵押合同，约定：如白云公司不能在2011年12月底还债，蓝天公司将对该房屋行使抵押权。但是一直到2011年12月，白云公司仍然无钱清偿对蓝天公司的债务。2012年1月，蓝天公司要求顺昌公司向其缴纳租金，顺昌公司拒绝。从2012年1月至2013年3月，顺昌公司以白云公司与蓝天公司之间存在的抵押合同纠纷尚未解决为由，既拒绝向白云公司交租，也不向蓝天公司交租。2013年4月，蓝天公司以抵押合同纠纷诉至法院。问题：

(1)白云公司能否将已出租的房屋抵押给蓝天公司？是否需要取得顺昌公司的同意？为什么？

(2)如果白云公司与蓝天公司签订的抵押合同没有进行登记，抵押权成立吗？为什么？

(3)如果白云公司与蓝天公司的抵押有效，那么蓝天公司在债务履行期限届满时如何实现其抵押权？如顺昌公司提出异议能否成立？为什么？

(4)蓝天公司是否有权向顺昌公司收取租金，以充抵白云公司的债务？为什么？