被告人张某（17周岁），因盗窃被某县检察机关起诉至该县法院。因符合简易程序的适用条件，经检察机关建议，人民法院适用简易程序对该案进行了公开审理，并以盗窃罪判处被告人三年有期徒刑。判决宣告后，被告人提出上诉。二审法院经过审查，以裁定发回原审法院重审。重审过程中，人民检察院没有补充起诉，法院经过审理，最后判处被告人五年有期徒刑。 请分析本案存在哪些程序问题？