甲公司是一家经营房地产的乡镇企业。2015年11月，该公司依法申请注册了“幸福”商标，使用在不动产出租和住房代理等服务项目上。之后，公司投入了一定的人力、物力等进行广告宣传,使该商标在公司所在地的周边地区有了较高的知名度。2016年1月,一家生产食品的私营企业在其生产的食品上使用并依法注册取得了“幸福”商标专用权。2017年3月,甲公司依法扩大经营范围，开办了一家食品厂。甲公司未申请注册使用在食品上的商标，而是将其注册使用在不动产出租和住房代理等服务项目上的“幸福”商标使用在其生产销售的食品上，直接将注册商标的使用范围扩大，只是没有标注“注册商标”的字样或标记。私营企业发现甲公司在生产的食品上使用“幸福”商标之后，认为甲公司的行为侵犯了自己在食品上使用“幸福”注册商标的专用权。而甲公司则认为，自己在食品上使用的是自己已经注册的“幸福”商标，与该私营企业的“幸福”注册商标无关。
问：（1）甲公司有权在自己生产的食品上直接使用“幸福”注册商标吗？
（2）甲公司的行为是否侵犯了某私营企业的“幸福”注册商标的专用权？